INSTRUKCIJE IZ RAZNIH PREDMETA - MATEMATIKE, KEMIJE, FIZIKE I DR.: Riješeni zadatci iz matematike

Porast mase za 50% tijekom godine

Na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) je ne 3. kolokviju iz Matematike 1 bio zadan sljedeći zadatak:

Masa populacije se povećava brzinom proporcionalnom samoj masi. Odredite funkciju m(t) koja daje ovisnost mase o vremenu, ako se u godinu dana ona poveća za 50%.

Rješenje. Porast mase populacije je proporcionalan samoj masi, odnosno

$\displaystyle\frac{dm}{dt} = k\cdot m,$

što se lako rješava separacijom varijabli. Množenjem s dt i dijeljenjem s m dobivamo

$\displaystyle \frac{dm}{m} = k\cdot dt$

što, nakon integriranja, daje

$\displaystyle \ln m = k\cdot t + c.$

Antilogaritmiranje nam dalje daje

$\displaystyle m = e^{kt + c}=e^{kt}e^c =Ce^{kt},$

gdje smo stavili da je

Kako je $m(0) = C\cdot e^0 = C$ , a to je masa u početnom trenutku, možda je bolje staviti

, pa nam zakon glasi

$m(t) = m_o e^{kt}.$

Zadatak nam dalje kaže (početni uvjet!) da se masa za godinu dana uvećala za 50%, odnosno

$m(1) = m_0e^{k} = 1.5m_0$

odakle slijedi

$e^k = 1.5\quad\Rightarrow\quad k=\ln 1.5 \approx 0.4055,$

pa je rješenje, konačno

$m(t) = m_0 e^{0.4055\cdot t}.$

Pravokutnik maksimalne površine ispod parabole

Slika zadatka

Na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) je 2011.na kolokviju zadan sljedeći zadatak:
U prvom kvadrantu ispod parabole

upisan je pravokutnik kojemu su stranice paralelne koordinatnim osima. Vidjeti sliku! Odredite točku A(x,y)

na paraboli tako da upisani pravokutnik ima maksimalnu površinu. Kolika je ta površina?

Rješenje.

Površina pravokutnika se izračunava množenjem duljina stranica, pa je funkcija površine

$P(x) = x\cdot (-x^2 + 9) = - x^3 + 9x$

Nađimo stacionarnu točku. Kako je derivacija gornje funkcije P'(x)= - 3x^2 + 9

, njezine nultočke su

$-3x^2 + 9 = 0\quad\Rightarrow\quad x_{1,2}=\pm\sqrt{3},$

od čega samo $\sqrt{3}$ odgovara zahtjevu da se nalazi u intervalu [0, 3]

. Provjerimo nalazi li se u njoj zbilja maksimum. Druga derivacija je P''(x) = -6x

, pa kako je

$P''(\sqrt{3}) = -6\sqrt{3}<0,$

to se u $\sqrt{3}$ zbilja nalazi maksimum, a maksimalna površina iznosi:

$P(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^3 + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}.$

Derivacija implicitne funkcije na 2. kolokviju na FSB-u

Prošle je godine na drugom kolokviju iz Matematike 1 na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) bio zadan sljedeći zadatak:

Za funkciju implicitno zadanu s

$1 + xy - \ln(y^2+1)=0$

nađite $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

Rješenje.

Derivacija implicitno zadane funkcije nije teška. Pjesnički rečeno, naprosto redom deriviramo s tim da y deriviramo kao složenu funkciju – izderiviramo i, ako nismo dobili y‘, pomnožimo s y‘.

Derivacija zadane funkcije bi glasila

$\displaystyle y + xy' - \frac{1}{y^2+1}\cdot 2yy'=0$