Riješeni zadatci iz matematike - Fakultet prometnih znanosti FPZ








Tangencijalna ravnina implicitno zadane plohe

Na Fakultetu prometnih znanosti je 22. 11. 2011. na ispitu iz Matematike 2 zadan sljedeći zadatak:

Napišite jednadžbu tangencijalne ravnine na plohu

x\ln(y+2z) + yz + x - 1 = 0

u točki T(1,1,0).


Rješenje. Ploha nam je zadana u implicitnom obliku. Označimo je s

F(x,y,z)=x\ln(y+2z) + yz + x - 1.

Parcijalne derivacije redom iznose

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\ln(y+2z)+1

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{x}{y+2z}+z

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}=\frac{2x}{y+2z}+y

dok su njihove vrijednosti u točki T(1,1,0)

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(1,1,0)=\ln(1+2\cdot 0 )+1 = 1

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(1,1,0)=\frac{1}{1+2\cdot 0}+0 = 1

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}(1,1,0)=\frac{2\cdot 1}{1+2\cdot 0}+1 = 3

Formula za tangencijalnu ravninu je

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(z-z_0) + =0

pa uvrštavanjem podataka dobijemo

1\cdot (x-1) + 1\cdot (y-1) + 3\cdot (z-0)=0

odnosno

x+y+3z - 2 = 0.



Odredi parametar da moduli vektora budu jednaki

Zadatak s Matematike 1 na Fakultetu prometnih znanosti (FPZ) zadan 27. 6. 2011.
Odredi parametar \lambda tako da vektori \vec{a}=(2^{\lambda},\lambda,\lambda-1) i \vec{b}=(\lambda+1,\lambda-2,0) budu jednaki i odredite kut između njih.

Iskažimo prvo navedenu jednakost modula i kvadrirajmo je

\sqrt{(2^{\lambda})^2 + \lambda^2 + (\lambda-1)^2}=  \sqrt{(\lambda+1)^2+(\lambda-2)^2+0^2}\qquad\big/^2

(2^{\lambda})^2 + \lambda^2 + (\lambda-1)^2=(\lambda+1)^2+(\lambda-2)^2+0^2

odakle nakon sređivanja dobijemo

2^{2\lambda}=4=2^2

pa je

\lambda=1
i vektori iznose


\vec{a}=(2,1,0),\quad \vec{b}=(2,-1,0).

Kut između vektora lagano nađemo iz formule

\displaystyle\cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{4-1+0}{(\sqrt{4+1+0})^2}=\frac{3}{5}

odakle slijedi

\varphi=53^{\circ}\, 7'\, 48''