INSTRUKCIJE IZ RAZNIH PREDMETA - MATEMATIKE, KEMIJE, FIZIKE I DR.: Riješeni zadatci iz matematike

Tangencijalna ravnina implicitno zadane plohe

Na Fakultetu prometnih znanosti je 22. 11. 2011. na ispitu iz Matematike 2 zadan sljedeći zadatak:

Napišite jednadžbu tangencijalne ravnine na plohu

$x\ln(y+2z) + yz + x - 1 = 0$

u točki $T(1,1,0)$ .

Rješenje. Ploha nam je zadana u implicitnom obliku. Označimo je s

$F(x,y,z)=x\ln(y+2z) + yz + x - 1.$

Parcijalne derivacije redom iznose

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\ln(y+2z)+1$

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{x}{y+2z}+z$

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}=\frac{2x}{y+2z}+y$

dok su njihove vrijednosti u točki $T(1,1,0)$

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(1,1,0)=\ln(1+2\cdot 0 )+1 = 1$

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(1,1,0)=\frac{1}{1+2\cdot 0}+0 = 1$

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}(1,1,0)=\frac{2\cdot 1}{1+2\cdot 0}+1 = 3$

Formula za tangencijalnu ravninu je

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(z-z_0) + =0$

pa uvrštavanjem podataka dobijemo

$1\cdot (x-1) + 1\cdot (y-1) + 3\cdot (z-0)=0$

odnosno

$x+y+3z - 2 = 0.$

Odredi parametar da moduli vektora budu jednaki

Zadatak s Matematike 1 na Fakultetu prometnih znanosti (FPZ) zadan 27. 6. 2011.
Odredi parametar $\lambda$ tako da vektori $\vec{a}=(2^{\lambda},\lambda,\lambda-1)$ i $\vec{b}=(\lambda+1,\lambda-2,0)$ budu jednaki i odredite kut između njih.

Iskažimo prvo navedenu jednakost modula i kvadrirajmo je

$\sqrt{(2^{\lambda})^2 + \lambda^2 + (\lambda-1)^2}= \sqrt{(\lambda+1)^2+(\lambda-2)^2+0^2}\qquad\big/^2$