INSTRUKCIJE IZ RAZNIH PREDMETA - MATEMATIKE, KEMIJE, FIZIKE I DR.: Riješeni zadatci iz matematike

Porast mase za 50% tijekom godine

Na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) je ne 3. kolokviju iz Matematike 1 bio zadan sljedeći zadatak:

Masa populacije se povećava brzinom proporcionalnom samoj masi. Odredite funkciju m(t) koja daje ovisnost mase o vremenu, ako se u godinu dana ona poveća za 50%.

Rješenje. Porast mase populacije je proporcionalan samoj masi, odnosno

$\displaystyle\frac{dm}{dt} = k\cdot m,$

što se lako rješava separacijom varijabli. Množenjem s dt i dijeljenjem s m dobivamo

$\displaystyle \frac{dm}{m} = k\cdot dt$

što, nakon integriranja, daje

$\displaystyle \ln m = k\cdot t + c.$

Antilogaritmiranje nam dalje daje

$\displaystyle m = e^{kt + c}=e^{kt}e^c =Ce^{kt},$

gdje smo stavili da je $C=e^c$ .

Kako je $m(0) = C\cdot e^0 = C$ , a to je masa u početnom trenutku, možda je bolje staviti $C=m_0$ , pa nam zakon glasi

$m(t) = m_o e^{kt}.$

Zadatak nam dalje kaže (početni uvjet!) da se masa za godinu dana uvećala za 50%, odnosno

$m(1) = m_0e^{k} = 1.5m_0$

odakle slijedi

$e^k = 1.5\quad\Rightarrow\quad k=\ln 1.5 \approx 0.4055,$

pa je rješenje, konačno

$m(t) = m_0 e^{0.4055\cdot t}.$

Pravokutnik maksimalne površine ispod parabole

Slika zadatka

Na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) je 2011.na kolokviju zadan sljedeći zadatak:
U prvom kvadrantu ispod parabole $y=-x^2+9$ upisan je pravokutnik kojemu su stranice paralelne koordinatnim osima. Vidjeti sliku! Odredite točku $A(x,y)$ na paraboli tako da upisani pravokutnik ima maksimalnu površinu. Kolika je ta površina?

Rješenje.

Površina pravokutnika se izračunava množenjem duljina stranica, pa je funkcija površine

$P(x) = x\cdot (-x^2 + 9) = - x^3 + 9x$

Nađimo stacionarnu točku. Kako je derivacija gornje funkcije $P'(x)= - 3x^2 + 9$ , njezine nultočke su

$-3x^2 + 9 = 0\quad\Rightarrow\quad x_{1,2}=\pm\sqrt{3},$

od čega samo $\sqrt{3}$ odgovara zahtjevu da se nalazi u intervalu $[0, 3]$ . Provjerimo nalazi li se u njoj zbilja maksimum. Druga derivacija je $P''(x) = -6x$ , pa kako je

$P''(\sqrt{3}) = -6\sqrt{3}<0,$

to se u $\sqrt{3}$ zbilja nalazi maksimum, a maksimalna površina iznosi:

$P(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^3 + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}.$

Derivacija implicitne funkcije na 2. kolokviju na FSB-u

Prošle je godine na drugom kolokviju iz Matematike 1 na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) bio zadan sljedeći zadatak:

Za funkciju implicitno zadanu s

$1 + xy - \ln(y^2+1)=0$

nađite $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

Rješenje.

Derivacija implicitno zadane funkcije nije teška. Pjesnički rečeno, naprosto redom deriviramo s tim da y deriviramo kao složenu funkciju – izderiviramo i, ako nismo dobili y‘, pomnožimo s y‘.

Derivacija zadane funkcije bi glasila

$\displaystyle y + xy' - \frac{1}{y^2+1}\cdot 2yy'=0$