Riješeni zadatci iz matematike - Fakultet prometnih znanosti FPZ








Tangencijalna ravnina implicitno zadane plohe

Na Fakultetu prometnih znanosti je 22. 11. 2011. na ispitu iz Matematike 2 zadan sljedeći zadatak:

Napišite jednadžbu tangencijalne ravnine na plohu

x\ln(y+2z) + yz + x - 1 = 0

u točki T(1,1,0).


Rješenje. Ploha nam je zadana u implicitnom obliku. Označimo je s

F(x,y,z)=x\ln(y+2z) + yz + x - 1.

Parcijalne derivacije redom iznose

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\ln(y+2z)+1

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{x}{y+2z}+z

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}=\frac{2x}{y+2z}+y

dok su njihove vrijednosti u točki T(1,1,0)

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(1,1,0)=\ln(1+2\cdot 0 )+1 = 1

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(1,1,0)=\frac{1}{1+2\cdot 0}+0 = 1

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}(1,1,0)=\frac{2\cdot 1}{1+2\cdot 0}+1 = 3

Formula za tangencijalnu ravninu je

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(z-z_0) + =0

pa uvrštavanjem podataka dobijemo

1\cdot (x-1) + 1\cdot (y-1) + 3\cdot (z-0)=0

odnosno

x+y+3z - 2 = 0.



 Odredi parametar da moduli vektora budu jednaki

Zadatak s Matematike 1 na Fakultetu prometnih znanosti (FPZ) zadan 27. 6. 2011.
Odredi parametar \lambda tako da vektori \vec{a}=(2^{\lambda},\lambda,\lambda-1) i \vec{b}=(\lambda+1,\lambda-2,0) budu jednaki i odredite kut između njih.

Iskažimo prvo navedenu jednakost modula i kvadrirajmo je

\sqrt{(2^{\lambda})^2 + \lambda^2 + (\lambda-1)^2}= \sqrt{(\lambda+1)^2+(\lambda-2)^2+0^2}\qquad\big/^2

(2^{\lambda})^2 + \lambda^2 + (\lambda-1)^2=(\lambda+1)^2+(\lambda-2)^2+0^2

odakle nakon sređivanja dobijemo

2^{2\lambda}=4=2^2

pa je

\lambda=1
i vektori iznose


\vec{a}=(2,1,0),\quad \vec{b}=(2,-1,0).

Kut između vektora lagano nađemo iz formule

\displaystyle\cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{4-1+0}{(\sqrt{4+1+0})^2}=\frac{3}{5}

odakle slijedi

\varphi=53^{\circ}\, 7'\, 48''



Objavio/la
Oznake: , , ,

Riješeni zadatci iz matematike - Fakultet strojarstva i brodogradnje FSB

  

Porast mase za 50% tijekom godine

Na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) je ne 3. kolokviju iz Matematike 1 bio zadan sljedeći zadatak:

Masa populacije se povećava brzinom proporcionalnom samoj masi. Odredite funkciju m(t) koja daje ovisnost mase o vremenu, ako se u godinu dana ona poveća za 50%.

Rješenje. Porast mase populacije je proporcionalan samoj masi, odnosno

\displaystyle\frac{dm}{dt} = k\cdot m,

što se lako rješava separacijom varijabli. Množenjem s dt i dijeljenjem s m dobivamo

\displaystyle \frac{dm}{m} = k\cdot dt

što, nakon integriranja, daje

\displaystyle \ln m = k\cdot t + c.

Antilogaritmiranje nam dalje daje

\displaystyle m = e^{kt + c}=e^{kt}e^c =Ce^{kt},

gdje smo stavili da je .

Kako je m(0) = C\cdot e^0 = C, a to je masa u početnom trenutku, možda je bolje staviti , pa nam zakon glasi

m(t) = m_o e^{kt}.

Zadatak nam dalje kaže (početni uvjet!) da se masa za godinu dana uvećala za 50%, odnosno

m(1) = m_0e^{k} = 1.5m_0

odakle slijedi

e^k = 1.5\quad\Rightarrow\quad k=\ln 1.5 \approx 0.4055,

pa je rješenje, konačno

m(t) = m_0 e^{0.4055\cdot t}.

   

 
Pravokutnik maksimalne površine ispod parabole



Na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) je 2011.na kolokviju zadan sljedeći zadatak:
U prvom kvadrantu ispod parabole upisan je pravokutnik kojemu su stranice paralelne koordinatnim osima. Vidjeti sliku! Odredite točku A(x,y) na paraboli tako da upisani pravokutnik ima maksimalnu površinu. Kolika je ta površina?

Rješenje.

Površina pravokutnika se izračunava množenjem duljina stranica, pa je funkcija površine

P(x) = x\cdot (-x^2 + 9) = - x^3 + 9x

Nađimo stacionarnu točku. Kako je derivacija gornje funkcije P'(x)= - 3x^2 + 9, njezine nultočke su

-3x^2 + 9 = 0\quad\Rightarrow\quad x_{1,2}=\pm\sqrt{3},

od čega samo \sqrt{3} odgovara zahtjevu da se nalazi u intervalu [0, 3]. Provjerimo nalazi li se u njoj zbilja maksimum. Druga derivacija je P''(x) = -6x, pa kako je

P''(\sqrt{3}) = -6\sqrt{3}<0,

to se u \sqrt{3} zbilja nalazi maksimum, a maksimalna površina iznosi:

P(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^3 + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}.

  

Derivacija implicitne funkcije na 2. kolokviju na FSB-u

Prošle je godine na drugom kolokviju iz Matematike 1 na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) bio zadan sljedeći zadatak:

Za funkciju implicitno zadanu s

1 + xy - \ln(y^2+1)=0
nađite  \displaystyle \frac{dy}{dx}.


Rješenje.

Derivacija implicitno zadane funkcije nije teška. Pjesnički rečeno, naprosto redom deriviramo s tim da y deriviramo kao složenu funkciju – izderiviramo i, ako nismo dobili y‘, pomnožimo s y‘.

Derivacija zadane funkcije bi glasila

\displaystyle y + xy' - \frac{1}{y^2+1}\cdot 2yy'=0

te ju još samo treba riješiti po y'. Imamo dalje

\displaystyle y'(x-\frac{2y}{y^2+1})=-y\quad\Rightarrow\quad y'=\frac{-y}{x-\frac{2y}{y^2+1}}

pa je rješenje

\displaystyle y'=\frac{-y(y^2+1)}{x(y^2+1)-2y}

   

Objavio/la
Oznake: ,

Riješeni zadatci iz matematike - Geodetski fakultet Zagreb



Krivuljni integral prve vrste na Geodetskom fakultetu

Na pismenom ispitu iz Vektorske analize 20. 6. 2011. je bio sljedeći zadatak:

Izračunajte

\displaystyle \int_k \frac{z^2}{x^2+y^2}\, ds

gdje je k prvi zavoj cilindrične zavojnice

x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad z=at

Rješenje.

Izračunajmo prvo koliki je ds. Kako je

\dot{x}=-a\sin t,\quad \dot{y}=a\cos t,\quad \dot{z}=a,

to je

\begin{array}{rcl} ds &=& \displaystyle \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2}\, dt=\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+a^2}\, dt\\[15pt] &=& \displaystyle \sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t + a^2}\, dt = a\sqrt{2}\, dt \end{array}


pa je, jer su granice 0,\ 2\pi

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_k \frac{z^2}{x^2+y^2}\, ds &=& \displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{(at)^2}{(a\cos t)^2 + (a\sin t)^2}\, a\sqrt{2}\, dt\\[20pt] &=& \displaystyle a\sqrt{2}\int_0^{2\pi} t^2\, dt = \frac{8\sqrt{2} \pi^3 a}{3} \end{array}



Objavio/la
Oznake: , ,
Pretplati se na: Komentari (Atom)