Riješeni zadatci iz matematike - Građevinski fakultet Zagreb

Vidi više


Integral s logaritmom i korijenom

Zadatak s pismenog ispita iz Matematike 1 na Građevinskom fakultetu u Zagrebu.

Izračunajte integral

\displaystyle \int\frac{\ln 2 +\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx.


Rješenje.

Integral se lagano rješava metodom parcijalne integracije. Stavimo li

\begin{array}{lcl} \displaystyle u=\ln 2 + \ln\sqrt{x} &\qquad & \displaystyle dv = \frac{dx}{\sqrt{x}}\\ \displaystyle du = \frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dx}{2\sqrt{x}}=\frac{dx}{2x} & & v = \int\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x} \end{array}

iz formule \int u\, dv = uv - \int v\, du imamo da je

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int\frac{\ln 2 +\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx &=& \displaystyle 2\sqrt{x}(\ln 2 + \ln\sqrt{x}) - \int 2\sqrt{x}\frac{dx}{2x}\\[15pt] &=& \displaystyle 2\sqrt{x}(\ln 2 + \ln\sqrt{x}) - 2\sqrt{x} + C\\[15pt] &=& \displaystyle 2\ln 2\cdot \sqrt{x} + 2\sqrt{x}\ln\sqrt{x}-2\sqrt{x} + C \end{array}




Objavio/la
Oznake: ,